Información necesaria:
Direcciones IP de los interfaces ethernet de los PC
Dirección IP interna del router
Puertas de enlace predetermindas (router por defecto) de ambos PC
Direcciones IP de servidores DNS configurados en ambos PC
Tipo de asignación de direcciones IP en los PC: DHCP vs estática

Comprobaciones:
Ping a la dirección interna del router.
Ping a una dirección de Internet sin resolución de nombres previa: ping 8.8.8.8
Ping a una dirección de Internet com resolución de nombres previa: ping xxx.google.com (por ejemplo) [Cambia xxx por www. Es que si no me lo convertía en una URL]

Con esta información ya podemos comenzar a evaluar el problema, si no hay que echar mano de la bola de cristal