1.- Los decos de movistar solo tienen una entrada ethernet, por lo tanto no te sirve como enrutador para poder conectarlo a otros equipos en este caso a la tele.
2.- Por el cable hdmi no puedes enviar datos como si fuera un ethernet.
3.- Si dejas el deco en la habitación efectivamente lo puedes conectar al tv con un hdmi y lo podrás ver perfectamente pero no podrás cambiar de canales por lo tanto tendrás que ir hasta el deco para cambiar, y viceversa si el deco lo pones junto al tv y quieres cambiar desde el cuarto.
4.- partiendo que el router lo tienes en la habitación lo suyo es tirar cable hasta donde tienes la tele, lo suyo es categoría 6 como mínimo, estos los venden de distintas medidas o le puedes decir al de la tienda de cuantos metros lo quieres y que te lo hagan, si tiras cable lo suyo es que le pongas un Hubs/Switchs que sea gigabit y ya tendrás varias tomas ethernet para lo que venga.
Existen plc que se conectan a un enchufe eléctrico y a través del cableado eléctrico te manda la señal de internet a la habitación donde conectes el receptor, los hay con dos salidas de cable ethernet, que seria para la tele y para otro aparato, la forma de conectarlo seria el emisor donde tengas el router conectado con un cable de red categoria 6 y el emisor donde quieras tener internet en ese momento, no pierdes ningún enchufe ya que el plc lo lleva incorporado y no se puede conectar a las regletas tiene que ser a los cables eléctricos de la casa.

TP-LINK TL-WPA4220KIT Wireless N Kit Red Home Plug. una cosa así.

TP-LINK TL-SG105 Switch 5 Puertos Hub/Switch.

Si decides dejar el deco donde lo tienes actualmente y tirar un cable hdmi hasta el televisor necesitaras un duplicador de pantalla con la idea de no estar conectando y desconectando cable hdmi cada vez que quieras verlo en un sitio u otro "para no fastidiar las tomas", conectas el deco con un cable hdmi al duplicador y de este los cables para las diferentes pantallas.

Splitter HDMI 4 Puertos Cable HDMI.

También están los llamados video sender, que se trata de un emisor y un receptor en este caso de audio y video, no te va a dar señal 1080p pero se ve bastante bien aunque le influyen muchos factores, puedes cambiar de canales y todo como si estuviera el deco en la misma habitación, que sea de banda de 5´8 ghz, los que emiten en full hd valen un y parte del otro.
Hala a partirte la cabeza. Saludos.