Hola, el blanco ya sabemos lo que conlleva en el tema de imagen, aunque muchas veces no queda otra, con el tiempo pintar en otro tono más oscuro se notará muchisimo.
Para la primera pregunta con un chromecast o firestick lo tienes solucionado, además de todas las ventajas que conlleva.
Proyector es el tema más delicado, depende del gasto que estes dispuesto y de tu nivel de exigencia, aunque en 1080 cualquier optoma, epson , bq de gama entrada te servirá cumplen muy muy bien y no decepcionan y pueden rondar los 500 €, menos de eso es tirar el dinero. Si puedes ir a un 4k de sería lo más inteligente. Un epson tw7000 o optoma uhd40 o 50, serian buenas soluciones. Pero ya te digo que esto es un mundo y hay muchos post que te resolveran esa duda, lee y aprende del tema.
Pantalla , yo te recomiendo una blanca, he probado las dos y la gris necesitas muchos lumenes, aunque en tu caso , sin acondicionar sería buena opción.

Como ves esto es un mundo muy abierto, y todo depende de tu cartera, y de las ganas que tengas de aprender. un saludo.