En teoría así como lo tienes conectado, con el receptor apagado el sonido de la xbox tendría que pasar a la tv, y ya desde la tv podrías escucharlo por los auriculares bluetooth.

Con el receptor apagado puedes ir cambiando las entradas (en tu caso game) sin tener que encenderlo, simplemente apretando en el mando el botón de entrada que requieras, el led rojo va a parpadear sin pasar a verde.

Saludos