Bueeeno. Un post con respuesta "con miga".
Por un lado, y antes de que me olvide, en mi humilde opinión, un switch tiene la posibilidad de conmutar las entradas entre las salidas, con lo que un switch 2x4, por ejemplo, puede mandar la entrada 1 por la salida 3, mientras que (según modelo), podría mandar la entrada 2 por la salida 1, por ejemplo.
Un splitter solo repite la señal de entrada entre las salidas, aunque actualmente ya hay aparatos que, llamándose "splitters", hacen lo que un "switch".

A partir de aquí empiezo con la respuesta general.
Un cable hdmi de 15m es todo un reto (por no llamarlo "problema"). A partir de 12m, pocos fabricantes aseguran tener cables que funcionen, y a un precio razonable, menos.
Quizás, aprovechando que necesitas un splitter 1x2 (y este no necesita gestión algúna), podrías ponerlo a mitad de camino entre el ampli y el proyector (si se puede esconder en algún falso techo, o algo así), y así usar cables de 7 a 10 metros, que te darán menos problemas.