Conectado estás, tienes una velocidad de mierda, como dices, y todo te irá muy lento, como arrastrándose ¿no?
En la confiración, en el apartado de Internet, ¿has mirado cómo está la cobertura WIFI? ¿Te llega bien?. Supongo que sí, porque dices que tienes el royter apenas a 50 cm de la TV, osea que, por cobertura, no puede ser el problema.
Vete a configuración, y desactiva INICIO RÁPIDO. Apaga la TV, desconéctala de la correinte unos 10 segundos y luego vuelve a encenderla.
En las TV LG que tienen la opción de INICIO RÁPIDO, si esta opción está activada, genera muchos problemas con el WIFI, problemas como los que tú comentas.
Prueba a ver que tal.