Hola slympgb,
Llevo poco por aquí, pero juraría que para enviar sonido a la barra con el Fire conectado al proyector, debes tener HDMI ARC en proyector y barra, conexión óptica u otra de audio. Al menos en TV es así. Lo estás haciendo así? estas usando las conexiones HDMI ARC u óptica?
Si amplias información de como los tienes conectados será mas fácil darte alternativas.
Saludos